MODELO ONDULATORIO DE SCHRODINGER

En 1925, el físico alemán Erwin Schrodinger sorprendió al mundo científico con la publicación de su teoría de la mecánica ondulatoria, en la que el modelo del átomo era resuelto como una onda. Schrödinger, convencido de la necesidad de un nuevo modelo del átomo, consideró la propuesta de Louis de Broglie de asociar una onda al electrón, el estaba familiarizado con los experimentos e información disponible acerca del átomo. Los espectroscopístas habían publicado sus trabajos mostrando que distintas líneas espectrales caracterizaban a los átomos. Bohr y otros enfatizaron que cualquier modelo del átomo debería de incorporar las ideas cuánticas de Planck, es decir, niveles de energía discretos (cuantizados).
Bohr, Sommerfeld y Zeeman habían mostrado como este requisito podía ser resuelto introduciendo ARBITRARIAMENTE una serie de enteros, llamados números cuánticos. Schrödinger reflexionó sobre estos hechos y comprendió que las ondas estacionarias asociadas con objetos vibrantes, tales como la cuerda de una guitarra o un tambor, podían ser expresados matemáticamente por ecuaciones en las que una serie de enteros aparecía de una manera natural y necesaria. Solo se necesitaba encontrar un buen objeto vibrante como modelo, las ondas estacionarias para este modelo deberían de tener ecuaciones que contendrían una serie de enteros, que de alguna manera representarían a los electrones.
Asombrosamente, encontró el modelo requerido en los trabajos matemáticos de William Hamilton, el genio matemático del siglo XIX. El objeto vibrante era un planeta inundado –un océano de profundidad uniforme que cubría completamente un planeta esférico-.Evidentemente, Hamilton trató de explicar matemáticamente la forma como la luna perturba las mareas de los océanos en forma periódica e idealizó el problema para escribir la solución matemática completa de las vibraciones.
Schrödinger reconoció inmediatamente que la ecuación de onda para este modelo eran las ecuaciones que podían describir el comportamiento de los electrones en el átomo.
Para apreciar la forma en que surgen estos enteros en un tratamiento matemático de las ondas, alguna familiaridad con los aspectos más elementales del movimiento ondulatorio es requerido, así el vibrar de una cuerda de guitarra puede describirse usando la trigonometría:

Y = A sen n (x/l)

donde Y representa la altura o amplitud, x la posición a un punto, l la longitud de la cuerda, A es una constante que describe el modo fundamental de vibración, finalmente n es un número entero que tiene el valor de n = 1 para el primer sobretono; n = 2 para el segundo sobretono; n = 3 para el tercer sobretono, etc.
Claramente esta consideración elemental de una cuerda vibrando nos revela una situación impactante, la aparición de una serie de enteros; n= 1, 2, 3, ...., en la ecuación anterior. Schrödinger, un físico competente, estaba completamente familiarizado con los aspectos matemáticos de los cuerpos vibrantes, sabía que una serie similar de enteros debería surgir del tratamiento matemático del planeta inundado. Reconocía que eran las condiciones de frontera las que generaban la serie de enteros. Para una cuerda, la ecuación de movimiento es:

donde u es la velocidad de onda de la cuerda y t el tiempo.
Cuando consideramos la vibración de un objeto más complicado como es el caso de un tambor o de un planeta inundado, encontramos que la teoría acústica proporciona una ecuación de onda similar que aquella descrita para una cuerda. Entonces en cada caso la geometría real del objeto vibrante llevará a describir ondas estacionarias y sus sobretonos. Estas ecuaciones están relacionadas a través de números enteros.
Estableciendo las ecuaciones de onda para un átomo, Schrödinger primero escribió la ecuación general para el movimiento tridimensional:

En esta ecuación la letra griega, Ψ (psi) es usada para representar la amplitud de la onda, u la velocidad de la onda a través del espacio x, y, z, que son las coordenadas cartesianas. Alternativamente se podría emplear coordenadas esféricas. Resolviendo la ecuación únicamente en su parte espacial independiente del tiempo toma la forma: (Ver las ecuaciones)

Esta ecuación describe el movimiento de los electrones en el átomo y representa su energía potencial electrostática en el campo producido por el núcleo. La solución de esta ecuación corresponde a las vibraciones fundamentales del átomo, donde el electrón tiene una longitud de onda, λ.
Schrödinger reconoció que la solución de su ecuación de onda, Ψ, en tres dimensiones (x, y, z) exigía la presencia de tres números cuánticos (n, l, m) y estos resultados de las condiciones de frontera y de la propia geometría del átomo.

ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRODINGER

La ecuación de onda de Schrödinger desarrollada en 1926, tiene como finalidad describir todos los procesos que ocurren a nivel molecular, atómico o nuclear. En especial nos puede dar información sobre los siguientes casos:
a). - Estados energéticos tanto atómicos como moleculares.
b). – Distribución de los electrones alrededor del núcleo.
c). – Orientación de los electrones en un campo magnético.
d). – Posibles transiciones energéticas de los electrones.
e). – Espectros de emisión atómica.
f). – Espectros de absorción (U.V., Visible, I.R.)
g). – Movimientos vibracionales y rotacionales de átomos y moléculas.
También nos ayuda a describir ciertos fenómenos atómicos como:
a). – La superfluides.
b). – La conductividad y superconductividad.
c). – Las propiedades ferromagnéticas.
d). – Los calores específicos.
e). – La formación del enlace químico.
Y lo que es más valioso aún, proporciona la capacidad de predicción que en una teoría y en toda la Ciencia es lo más importante. Es así como la tecnología actual se ha desarrollado gracias al poder de predicción de distintas teorías en la cual la mecánica cuántica ocupa un lugar especial.
La ecuación de Schrödinger como cualquier ecuación matemática está sujeta a restricciones y entre otras cosas debe cumplir con los requisitos para ser consistente:
– La solución de la ecuación de onda Ψ debe ser finita para todos los valores de las coordenadas.
– Dichas soluciones de Ψ deben poseer valores únicos para cada serie de coordenadas.
– La función de onda Ψ debe ser continua y disminuir rápidamente a cero cuando r tiende a infinito.
– La posibilidad de encontrar al electrón en todo el espacio debe ser igual a uno.

Quizás el punto 4 sea lo que diferencia a la teoría de Schrödinger con la de Bohr.
Según Bohr, un electrón en el estado fundamental del hidrógeno debe ocupar una órbita circular de radio, r = 0.529Å y en ningún otro punto del espacio. Para Schrödinger r = 0.529 Å solo es un conjunto de puntos en el espacio donde la probabilidad de encontrar al electrón es máxima, pero nada impide que se encuentre a otra distancia del núcleo. Por otro lado la teoría de Bohr se hallaba en seria contradicción con los principios de los cuales partía y era incapaz de explicar muchos hechos experimentales; en contraste, en la teoría de Schrödinger todos los resultados podían ser derivados de suposiciones fundamentales de la nueva física.